sábado, 17 de mayo de 2014

2.3 Límites laterales


Definición de límite por la derecha

Se dice que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{+}}}{f(x)}=L}$ si y solo si para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que si$0<x-a<\delta$ entonces $\vert f(x)-L\vert<\varepsilon \;\; L$ es el límite por la derecha de $f(x)$ en "a".  
   
Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de $x-a$, pues $x-a$ es mayor que cero ya que $x>a$.

Definición de límite por la izquierda

Se dice que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{-}}}{f(x)}=R}$ si y solo si para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que si$0<a-x<\delta$ entonces $\vert f(x)-R\vert<\varepsilon\cdot R$ es el límite por la izquierda de $f(x)$ en "a".  
Note que la expresión $a-x$ es mayor que cero, pues $x\rightarrow a^{-}$ por lo que $x<a$.
En adelante determinaremos los límites laterales a partir de la representación gráfica de una función cuya ecuación se da. 
Ejemplo:
Determinar los límites, en los puntos de discontinuidad, de la función $f$ definida por:
$f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} x+2 & \mbox{si} & x\geq 1 \\ -x^{2}-1 & \mbox{si} & x<1 \end{array}\right.$
Primero hagamos la gráfica de la función:
 
El punto de discontinuidad se presenta cuando $x=1$
Luego: $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{1^{+}}}{f(x)}=3}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{1^{-}}}{f(x)}=-2}$
Observe que el límite por la derecha (3), es diferente al límite por la izquierda (2). 
Ejercicio:
Represente la función $h$ definida por $h(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} x-1 & \mbox{si} & x<0 \\ x+1 & \mbox{si} & x>0 \end{array}\right.$
y determine los límites laterales en el punto de discontinuidad.
Es posible demostrar que para que exista $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}}$ es necesario y suficiente que los límites laterales existan y sean iguales.
Es decir, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}=L}$ si y solo si $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{+}}}{f(x)}=L}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{-}}}{f(x)}=L}$
Por consiguiente, si $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{+}}}{f(x)}}$ es diferente de $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{-}}}{f(x)}}$ se dice que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}}$ no existe. 
Ejemplo:
Representemos gráficamente la función definida por:
$f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} x^{2}-2 & \mbox{si} & x<2 \\ x & \mbox{si} & 2<x<4 \\ 4-x & \mbox{si} & x\geq 4 \end{array}\right.$
 
Como $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{f(x)}=2}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{f(x)}=2}$, entonces $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}=2}$
Como $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4^{+}}}{f(x)}=0}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4^{-}}}{f(x)}=4}$, entonces $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4}}{f(x)}}$ no existe. 
Ejercicio:
Considere la representación gráfica de la función $g$ definida por:
$f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} \sqrt{-x-1} & \mbox{si} & x\leq -2 \\ x+3 & ... ...& \mbox{si} & 1\leq x\leq 3 \\ (x-4)^{2} & \mbox{si} & x>3 \end{array}\right.$
De$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-2}}{g(x)}}$termine si existen cada uno de los límites siguientes:
a.


b.$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{1}}{g(x)}}$
c.$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{3}}{g(x)}}$
d.$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4}}{g(x)}}$
e.$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{g(x)}}$
  
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